15개 소과제


- 목 차 -

1. 확률변수의 개념 및 확률변수와 표본평균 간의 관계를 간단히 기술하시오.
2. 확률변수 Y의 표준편차가 6일 때, 확률변수 Y에 각각 5배를 곱하여 만든 새로운 확률변수 Z의 분산값을 구하시오.
3. 제시한 표준정규분포표를 이용하여 확률변수 X가 평균이 31, 표준편차가 4인 정규분포를 이룰 때, 확률변수 X가 27 이하일 확률을 구하시오.
4. 방송대 학생 중 325명을 뽑아 신장(키)을 조사해 보았더니 평균이 171.0cm, 표준편차가 9.0cm이었다. 95% 신뢰수준에서 모집단의 평균을 추정하려고 한다. 표준오차의 값을 추정하시오.
5. 위 4번 과제에서 추정된 표준오차를 이용하여 모평균에 대한 신뢰구간을 추정하여 작성하시오.
6. 재정 투명성의 개선을 위해 공금횡령 건수에 관한 표본을 추출하고자 한다. 원하는 오차의 한계는 2건이고 과거의 경험을 통해 알고 있는 모집단의 표준편차는 10건이다. 99% 신뢰수준을 확보하기 위해 필요한 최소한의 표본의 크기를 구하시오.
7. 방송대 학생 181명을 표본으로 뽑아 한 학기 동안의 지역사회 참여시간을 조사하였더니 평균이 37시간이었다. 표준오차를 2.5시간이라고 가정하고, “모집단 평균이 30시간이 아니다”라는 대립가설을 세운 다음 유의수준 0.05에서 가설검정을 하려고 한다. 표준화된 통계치 값을 구하시오.
8. 위 7번 과제에서 구한 표준화된 통계치 값을 이용해 판정을 하고, 이 가설검정의 결론에 해당하는 문장을 직접 작성하시오.
9. 제시한 분산분석표를 이용하여 통계치 F값을 계산하시오.
10. 이상의 분산분석표를 활용해 유의수준 0.05에서 가설검정을 할 때, 위 9번 과제에서 구한 통계치 F값을 이용해 판정을 하고 그 결론에 해당하는 문장을 직접 작성하시오.
11. 거주 지역을 대도시, 중소도시, 농촌으로 나눈 뒤, 무작위 표본추출을 통해 총 90명의 표본을 추출하고 그들의 학력을 조사하였더니 결과가 다음의 도수분포표와 같았다고 한다. 이 도수분포표를 이용해 χ2-검정을 실시할 때 필요한 자유도를 구하시오.
12. 이상의 도수분포표를 이용해 유의수준 0.05에서 가설검정을 할 때 계산한 χ2-통계치가 6.67이라면, 가설을 판정하고 그 결론에 해당하는 문장을 직접 작성하시오.
13. 상관분석에서 두 변수 간 상관계수가 –0.55라고 할 때, 결정계수 값을 구하시오.
14. 회귀분석에서 총변동량(SST)이 200이고, 설명 안 된 변동량(SSE)이 124일 때, 결정계수 값을 구하시오.
15. 회귀모형에서 F-검정의 특징 및 장점을 간단히 기술하시오.
참고문헌

1. 확률변수의 개념 및 확률변수와 표본평균 간의 관계를 간단히 기술하시오.

[정답]
1) 확률변수 개념
확률변수는 확률 실험의 결과에 의해 결정되는 값이다. 확률적 실험에서 실험의 결과를 수치화할 때, 실험의 결과마다 실수를 대응하는 함수를 의미한다. 즉, 확률변수란 표본공간에서 어떤 사건에 숫자를 대응시켜준 것으로 일반적으로 X로 표시한다.
윷놀이를 예를 들어보자. 윷놀이를 하는 경우에 나올 수 있는 모든 사건들을 표본공간으로 표시하면, S = {(등등등등), (등등등배), (등등배배), ... (등배배배), (배배배배)} 총 16가지의 사건이 발생하게 된다. 이 때 표본공간의 사건들을 어떤 숫자에 대응시키는 경우를 고려하여 보자. 등이 하나도 안나오는 경우는 0, 등이 하나만 나오는 경우는 1, 등이 두개가 나오는 경우는 2, 등이 세 개가 나오는 경우는 3, 등이 네 개가 나오는 경우는 4로 표본공간에 대응시켜보면, S = {0, 1, 2, 3, 4}로 나타난다. 즉, 표본공간에서 나올 수 있는 사건에 숫자를 부여한 것이 확률변수이다. 따라서 윷놀이를 하는 경우에 등이 네 개가 다 나올 확률은 표본공간에서 (등등등등)인 하나의 사건밖에 존재하지 않으므로 총 16가지의 사건에서 1가지 사건만 발생하므로 1/16이 된다. 이것을 확률변수로 표시하면 P(X=4) = 1/16이 되며, 등이 하나도 안 나올 확률은 마찬가지로 P(X=0) = 1/16이 된다. 이와 같이 확률변수에 대응하는 모든 값에 대해 확률로 표시한 것을 확률분포라 한다.

2) 확률변수와 표본평균 간의 관계
표본평균이란, 모집단에서 표본추출법을 이용해 추출한 표본의 평균이다. 평균(표본평균)들의 표본분포의 전체평균은 모집단의 평균(μ)과 같다. n이 크면, 평균(표본평균)들의 표본분포는 정규분포를 이룬다. 표본평균의 표준편차는 차이가 없으므로 조정계수를 무시해도 좋으나 모집단의 크기에 비해 표본의 크기가 크다면 조정계수를 사용하여 조정해 주어야만 한다. 일반적으로 표본의 크기가 모집단의 5% 미만인 경우에는 조정계수를 무시하며 그렇지 않은 경우에는 조정계수를 이용하여 검정통계량을 구해야만 정확한 분석을 할 수가 있다.
표본평균은 확률표본이 추출되는 것에 의해 특정 확률로 변화하게 되므로 표본평균은 확률변수라고 할 수 있다. n번 반복하여 추출된 표본의 평균값들은 확률변수이기 때문에 대응하는 발생 확률값이 된다. 표본평균의 확률분포는 평균 μ 및 표준편차 σ를 갖는 모집단으로부터 동일한 크기 n의 표본을 추출하여 평균을 계산할 때 표본평균의 확률분포를 의미한다. 따라서 표본(확률)분포는 모집단에서 일정한 크기의 가능한 표본을 추출하였을 경우, 표본으로부터 계산된 통계량의 확률분포가 된다.

2. 확률변수 Y의 표준편차가 6일 때, 확률변수 Y에 각각 5배를 곱하여 만든 새로운 확률변수 Z의 분산값을 구하시오.

[정답]
분산(Variance) 및 표준편차(Standard Deviation)는 분산도를 파악하는 수단으로서 가장 널리 쓰인다. 분산은 각 편차제곱의 합을 관찰값의 개수로 나눈 것을 말하며, 표준편차는 분산의 제곱근으로서 표시한다.
새로운 확률변수 Y의 표준편차(σ)는 원래의 표준편차(σ)에 상수(k)를 곱하여 산출한다.


- 중략 -